natinesJs Ⓚ 2024 Masih ingat dengan materi matematika SMP kelas viii Klas?. Tentunya masih ingat dong dengan relasi dan fungsi, dimana kali ini kita akan belajar mengenai aljabar fungsi, komposisi fungsi dan invers fungsi. Nah, sebelum lanjut mari kita ingat kembali apa itu relasi dan fungsi. Relasi menyatakan hubungan suatu anggota himpunan dengan himpunan lainnya. Himpunan berelasi jika ada yang berpasangan antara himpunan A dan B. Fungsi atau pemetaan merupakan relasi himpunan A dan B, jika anggota himpunan A tepat berpasangan satu dengan anggota himpunan B.
Aljabar Fungsi
Dua fungsi dapat dijumlah, dikurang, dikali atau dibagi menghasilkan fungsi baru.
Fungsi baru tersebut memiliki domain baru yang merupakan irisan dari dua fungsi lama nya.
ALJABAR FUNGSI Domain dan Rumus
Misalkan fungsi f dan g dengan daerah definisi Df ∈ R dan Dg ∈ R.
Penjumlahan
(f+g)(x) = fx + gx; x ∈ Df ⋂ Dg
Pengurangan
(f-g)(x) = fx - gx; x ∈ Df ⋂ Dg
Perkalian
(f.g)(x) = fx . gx; x ∈ Df ⋂ Dg
Hasil bagi
x=\frac{fx}{gx} "\left(\frac{f}{g}\right)x=\frac{fx}{gx}")
; x ∈ Df ⋂ Dg
Contoh Soal:
1. Diketahui fungsi f(x) = 3x-2 dan g(x) = 2x+5. Tentukan rumus fungsi dari?
a. (f+g)x
b. (f-g)x
c. (f • g)x
d. x "\left(\frac{f}{g}\right)x")
Jawab :
a. (f+g)x = f(x) + g(x) b. (f-g)x = f(x) - g(x)
= (3x-2) + (2x+5) = (3x-2) - (2x+5)
= 5x + 3 = 3x - 2 - 2x- 5
= x-7
c. (f • g)x = f(x) x g(x) d. x=\left(\frac{3x-2}{2x+5}\right) "\left(\frac{f}{g}\right)x=\left(\frac{3x-2}{2x+5}\right)")
= (3x-2) x (2x+5)
= 6x² - 4x + 15 x - 10
= 6x² + 11x - 10
KOMPOSISI FUNGSI
Jika f : A → B, dan g : B → C
maka kita definisikan suatu fungsi komposisi
g ° f : A → C
sedemikian hingga (g ° f) (a) = g(f(a))
Contoh Soal Komposisi Fungsi:
1. Diketahui f(x) = 2x² + 1 dan g(x) = x+3. Tentukan:
a. (f ° g)(x) b. (f ° g)(2)
Jawab :
a. (f ° g)(x) = f(g(x))
= f(x+3)
= 2(x+3)2 + 1
= 2(x² + 6x +9) + 1
= 2x² + 12x + 18 + 1
(f ° g)(x) = 2x² + 12x + 19 (bila x ditanyakan nilainya, maka:)
b. Cara 1
(f ° g)(2) = (2x² + 12x + 19) x (2)
= 2・2² + 12・2 + 19
= 51
Cara 2 :
g(2) menjadi g(2) = 2+3
= 5
(f ° g)(2) = f(g(2))
= f (5)
= 2 (5)² + 1
= 2 x 25 + 1
= 51
2. Menentukan f(x) dan g(x) dari fungsi komposisi
Diketahui fungsi komposisi (fog)(x) = 2x -1 dan fungsi fx = 2x + 1. Tentukan fungsi g(x)?
Jawab :
f(x) = 2x +1 ⇾ (f ° g)(x) = 2x - 1
f(g(x)) = 2・g(x) + 1 f(g(x)) = 2x - 1
2 g(x) +1 = 2x - 1
2g(x) = 2x - 1 - 1
2g(x) = 2x - 2
g(x) = 2x-2 / 2
g(x) = x - 1
Jadi, fungsi g(x) = x - 1
3. Menentukan komponen pembentuk fungsi komposisi
Jika g(x) = x +3 dan (f ° g)(x) = x2 - 4, maka f(x-2) = ...
Jawab :
Langkah 1 : Cari fungsi f(x) terlebih dahulu.
(f ° g)(x) = x² - 4
f(g(x)) = x² - 4
f(x+3) = x² - 4
Misalkan u = x +3 maka x = u - 3, sehingga:
f(u) = (u-3)² - 4
= (u² - 6u + 9) - 4
= u² - 6u + 5
maka, f(x) = x2 - 6x + 5
Langkah 2:
karena f (x) = x2– 6x + 5
maka f(x – 2) = (x–2)2– 6(x-2) + 5
= x2 – 4x + 4 – 6x + 12 + 5
= x2 – 10x + 21
Jadi, f(x – 2) = x2– 10x + 21
Komposisi 3 Fungsi
Jika : f : x → y atau y = f (x)
g : y →z atau z = g(y) = g(f(x))
h : z → w atau w = h(z) = h(g(f(x)))
maka, (h ° g ° f)(x) = h(g(f(x)))
Contoh:
Misalkan h(x) = 1 - x², g(x) = 3x, dan f(x) =2 - x. Maka nilai dari (h°g°f)(1) adalah....
Jawab:
(h ° g ° f)(x) = h(g(f(x)))
(h ° g ° f)(1) = h(g(f(1)))
= (1 - x²) (3x) (2 - x)(1)
= 0
Invers Fungsi
1. Invers fungsi linear
Contoh soal :
Tentukan invers dari f(x) = 3x + 5?
Jawab:
Invers fungsi :  "x=f^{-1}\left(y\right)")
y = f(x)
y = 3x+5
y - 5 = 3x
y-5/3 = x
Maka, =\frac{x-5}{3} "f^{-1}\left(x\right)=\frac{x-5}{3}")
Rumus : =a(x)+b\to&space;f^{-1}\left(x\right)=\frac{x-b}{a} "f(x)=a(x)+b\to f^{-1}\left(x\right)=\frac{x-b}{a}")
a = 3
b = 5
2. Invers Fungsi Rasional
Tentukan invers dari?
Jawab:
Invers fungsi : y = f(x)
y(2x+4) = 3x + 5
2yx + 4y = 3x + 5
2yx - 3x = -4y + 5
maka,
=\frac{3x+5}{2x+4} "f(x)=\frac{3x+5}{2x+4}")
⇾ =\frac{-4y+5}{2x-3} "f^{-1}(x)=\frac{-4y+5}{2x-3}")
a = 3, b = 5, c = 2, d = 4
3. Invers Fungsi Irasional
Tentukan invers dari f(x) = √2x + 3 ?
Jawab:
Invers fungsi :
y = f(x)
y = √2x + 3
y² = 2x + 3
y² - 3 = 2x
maka,
f(x) = √2x + 3 ⇾ =\frac{x^{2}-3}{2} "f^{-1}(x)=\frac{x^{2}-3}{2}")
a = 2, b = 3, n = 2
4. Invers Fungsi Eksponensial
Tentukan invers dari =3^{2x} "f(x)=3^{2x}")
? Jawab:
Invers fungsi :
y = f(x)
maka,
⇾ =\frac{log_{3}x}{2} "f^{-1}\left(x\right)=\frac{log_{3}x}{2}")
a = 3, b = 2
5. Invers Fungsi Logaritma
Tentukan invers dari f(x) = log23x?
Jawab:
Invers fungsi :
y = f(x)
y = log23x
maka,
f(x) = log23x → =\frac{2^{x}}{3} "f^{-1}\left(x\right)=\frac{2^{x}}{3}")
a = 2, c = 3
